如图所示：

假设等边三角形的三个顶点分别为A、B、C，三个圆的圆心分别为、、，且圆与BC相切于D点，圆和圆相切为E点，连接AD、、、、、以及CE。因三个圆大小相同，则，同时，故三角形为等边三角形，令其中心为o，则三段不含圆切点之间的弧对应的圆心角均为。令三个圆的半径为r，故所求距离。

方法一：O点即为等边三角形ABC与等边三角形共同的中心，在三角形ABC中高，则（参考备注）。同理，在三角形中，其高为，则。故，解得，故所求距离。

备注：1.等边三角形的中心即为三角形的重心，连接重心与顶点到对边的线段被重心分成2：1的比例，而这条边恰好就是等边三角形的高，于是中心到顶点距离为，高，于是中心到顶点距离为。

方法二：如图所示：

连接三个顶点与中心O点，形成三个全等的等腰三角形：△BOC、△AOB、△COA，圆、、分别为它们的内切圆。在△ABC中高，则AO=BO=CO（参考备注1），则，。根据三角形内切圆半径公式（参考备注2）（S为三角形面积，C为三角形周长），故所求距离。

备注2：

在任意△ABC中有内切圆O，令其半径为r，连接三角形顶点与圆心O点可将△ABC分割为三个小三角形，每个小三角形的高均为内切圆半径。则，则三角形内切圆半径。

2021年河北省《行测》题

第 1 题